CAUCHY

İlk büyük Fransız matematikçisi Auguston Louis Cauchy, Bastille'in işgalinden altı haftadan az bir zaman sonra Paris'te 21 Ağustos 1789 günü doğdu. İhtilal çocuğu eşitlik ve hürriyete olan borcunu yoksulluk içinde büyüyerek ödedi. Yarı açlık içinde ancak babasının iş bilmesi ve aklını kullanması sayesinde yaşadı. Babası, parlamentonun avukatıydı. İhtilalden iki yıl önce kendisi gibi dindar, çok iyi bir kadın olan Maria Madeleinc Desestre ile evlendi. Bu evlilikten altı çocuk oldu. Bunların ikisi erkek ve dördü de kızdı. Bunların en büyüğü Cauchy'ydi. İhtilal sonrasında aile Arcueil köyüne taşındı. Tam on bir yıl burada kaldılar. Cauchy, çocukluğunda kötü beslendiği için sıhhati hiç bir zaman iyi gitmedi. Başlangıçta iyi bir eğitim gördü. Dindardı. Bu yüzden başına çok belalar da geldi.

   Arcueil köyünde matematikçi Laplace ve kimyacı olan Berthollet (1748–1822) kapı komşuydular. İlişkileri de iyiydi. Berthollet kesinlikle bir yere gitmezdi. Laplace biraz daha alçak gönüllüydü. Bir gün fakir komşusunun evine gitti. İyi beslenmemiş, kitaplar ve defterler içinde cezalı bir çocuk gibi gömülmüş zayıf Cauchy'yi görünce hayrete düştü. Az zamanda çocuğun matematik yeteneğini anladı. Ona, kendisine iyi bakmasını önerdi.

  
1 Ocak 1800 günü, Paris'le İlişkisini kesmemiş olan Cauchy'nin babası, senato kâtibi oldu. Bürosu Luxembourg sarayındaydı. Bir köşeyi de oğluna ayırmıştı. O zaman Polytechnique'te profesör olan Lagrange sıksık kâtiple konuşmaya gelirdi. Cauchy ile burada karşılaşan Lagrange, Laplace gibi çocuğun matematiğine ve onun matematik yeteneğine hayran kaldı.

    . Cauchy, on üç yaşına kadar babasının yanında eğitim gördü. Daha sonra Ecole Centrale  Pantheon'a girdi. Bu okulda, Yunanca, Latince ve bu dillerin edebiyatlarında açılan yarışmaların tüm ödüllerini alarak okulda bir kahraman oldu. Bu okuldan ayrıldıktan sonra on ay iyi bir öğretmenle matematik çalıştı. 1805 yılında on altı yaşındayken Polytechnique okuluna ikincilikle girdi. . 1807 yılında mühendis okuluna geçti. 1810 yılında bu okulu bitirdi. Üç yıl Napolyon'un ordusunda askeri mühendis olarak Cherbourg'ta çalıştı.

 Cherbourg'a, Laplace'ın, Lagrange'ın, Kempis'in ve Virgilus'ün birer kitabını götürmüştü. Lagrange'ın eseri sayesinde, onun eserindeki hatalardan uzak bir fonksiyonlar kuramı kurmayı tasarladı. Boş zamanlarında aritmetikten başlayıp astronomiyi bitirdi. Bazı ispatları sadeleştirerek matematiğin tüm kollarını gözden geçirdi. Analize yakınsaklık ölçütünü getirerek analizi sıhhate kavuşturdu. En önemli atılımlarından birisi buydu. İkincisi, olasılıklar analizi ve gruplar kuramını kurmasıdır. Üçüncüsü de, karmaşık fonksiyonlar kuramıdır.

      
1813 yılında Paris'e geri döndü. Bu sırada en verimli yaşındaydı. Çok yüzlü geometrik şekiller, simetrik fonksiyonlar ve bunlarla ilgili eserini verdi. Cauchy'nin bu eserleri basıldı ve çok takdir toplayarak Cauchy'nin bir anda ünlü olmasını sağladı. Legendre, Cauchy'nin bu çalışmasına devam etmesini istedi. İkinci eseri Ocak 1812 tarihinde basıldı. . Grup tabloları onun en ilginç çalışmalarını gösterir. Katı cisim dönmeleri ve simetrilerin oluşturduğu gruplar hep Cauchy'nin çalışmalarının ürünleridir. Sonlu, sonsuz ve devirli gruplar üzerinde çalıştı. Bunların atom ve kristal yapılara uygulanmasını verdi. Permütasyonların devirlerini yazdı.
    
1814 yılında, karmaşık fonksiyonlar kuramını geliştirdi. Bugün, Cauchy teoremi adıyla bilinen ünlü teoremi ifade ederek ispatladı. Bu alanda integraller ve bunların hesaplanma yöntemleri yine Cauchy tarafından verildi. Bu sahadaki eseri 1827 yılında basıldı.

 1815 yılında Polytechnique'te analiz öğretmeni ve az sonra da profesör oldu. Sorbonne'a ve College de France'a girdi. Her işte başarılı oluyordu. Akademiye haftada iki çalışma sunduğu oluyordu. Geliştirdiği ve yaptığı çalışmaları öğrenmek için Avrupa'nın her yanından matematikçiler geliyordu. 1816 yılında Akademiye başkan seçildi. 1816 yılında sıvılar üzerinde dalgaların yayılmasının kuramını içeren yapıtıyla Akademi ödülünü aldı.

         
1816 yılında yirmi yedi yaşındayken, hayatta olan matematikçilerin en önde gelenlerinden, biri oldu. Tek rakibi, kendisinden on iki yaş büyük olan ve çok az konuşan, yaptıklarını saklayan ve yayınlamayan Gauss'tu.
     1818 yılında Aloise de Bure ile evlendi. Karısı, görgülü, bir ailenin kızıydı. Cauchy gibi o da Katolik'ti. Bu evlilikten iki kızı oldu. Tam kırk yıl eşi ile çok mesut evlilik hayatı sürdürdü.

 

  1826 ile 1830 yılları arasında "Matematik Alıştırmaları" adlı bir dergi çıkardı.

   1830 yılı ihtilali yine Cauchy'nin huzurunu bozdu ve rahatını kaçırdı. Ailesini Paris'te bırakarak, Akademiye istifa dilekçesini vermeden İsviçre'ye gitti. Sardunya Kralı ona Torino'da fizik matematik kürsüsünde bir yer verdi. Cauchy bu görevi kabul etti ve kısa sürede İtalyanca 'yı öğrendi. Bundan sonraki derslerini ve konferanslarını bu dille verdi.

    Cauchy'i ödüllendirmek isteyen Charles, aslında ona çok kötülük yaptı. 1833 yılında, on üç yaşındaki oğlunun eğitim ve öğretimi için görevlendirdi. Cauchy, ertesi yıl ailesini yanına getirtti. Sabahtan akşama kadar çocukla beraberdi. Sanki bir dadı olmuştu. Çocuktan boş kalan kısa zamanlarda bile odasına koşuyor, birkaç formül yazıyor ve bir paragraf ekliyor ve yine çocuğun yanına dönüyordu. Burada yaptığı en önemli çalışma, ışığın dağılması hakkında yapılan buluşudur.
Cauchy, küçük öğrencisinden 1838 yılında kurtulduğunda elli yaşındaydı. Kraldan izin alarak Paris'e döndü. Matematiğin tüm kollarında, mekanikte, fizik ve astronomide olmak üzere ve çoğu da çok kalın olmak koşuluyla 500 taneden fazla eser yazdı.

  College de France'ta bir yer boşalmıştı. Cauchy hemen buraya seçildi. Yemin etme nedeniyle hükümetle ve yöneticilerle arası açıldı. Yemini kabul etmediğinden yine açıkta kaldı. Daha sonra hükümet hata yaptığını anladı ve Cauchy de görevinde kaldı. Cauchy, tam dört yıl hükümete arkasını çevirip çalıştı.

   Cauchy'nin en önemli çalışmalarından biri de bu devreye aittir. Leverrier, 1840 yılında Akademiye bir çalışma sundu. Hesaplar o kadar fazlaydı ki, bunları incelemek olanaksızdı. Cauchy, hesapların doğru olduğunu gerçeklemek için çalışmayı incelemeyi kendisi istedi. Cauchy, Leverrier'in hesaplarını adım adım izleme yerine, kestirmeden giderek, eseri gerçekleyecek ve az zamanda geliştirilebilecek yeni yöntemler buldu. Hükümetle olan kavgası 1843 yılında daha da kızıştı. . Cauchy'nin hayatı ve karakteri bize zavallı Don Kişot'un hayatı gibi heyecan verir. Bu davranışlarından dolayı kendisine Don Kişot takma adı bile yakıştırılmıştır.
    Cauchy, eserlerini çok acele yazdığından, bu çalışmaları çok eleştirilmiştir. Çok eser vermiştir. Eserlerinin tümü 789 ayrı çalışmadır ve hepsi yirmi dört cilt kadar tutar. Onun iki şeyi vardı. Matematik ve din. Matematik ve dinden başka her şeyde sınır gözetirdi. Kendisini ziyarete gelen Lord Kelvin’i bile Katolik yapmak için uğraşacak kadar saf ve temiz duyguluydu. Gauss'un tersine, kendisini çok üstün görüyordu. Bu nedenle yakınlarını kırıyor ve son yıllarını kavgalarla geçiriyordu. İnatçı bir davranışı vardı.

Cauchy, 23 Mayıs 1857 günü altmış sekiz yaşındayken birden bire bronşitten öldü. Bu bronşiti geçirmek için dinlenme yerine çekilmişti. Orada ölümüne neden olan bir hummaya tutuldu. Aslında ölümü hiç beklemiyordu. Ölümünden, birkaç saat önce, Paris başpiskoposuna yapacağı iyiliklerden söz ediyordu. Yaşamı boyunca iyilik yapmayı çok sevmişti. Papaza son sözleri "İnsanlar gelip geçer, fakat eserleri kalır" dedi ve öldü. Gerçekten, Cauchy'nin eserleri bugün üniversitelerde yaşamaktadır.
                                                                                                              

 

 

 

 

                                    

(Cauchy) Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği

Teorem: İki pozitif sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasından küçük olamaz.

İspat: Eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp taraflardan biri boş bırakıldığında diğer taraf "farkın karesi" açılımını gösterecektir.

Çözümün ilk satırındaki ifade en alt satırdaki şekle dönüştüğünde eşitlik bozulmamıştır. Zira herhangi bir reel ifadenin karesi her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacaktır.

Peki, sıfıra eşit olması hangi durumlarda geçerlidir?

Eşitsizlik eşitliğe dönüştürülüp devam ettirildiğinde aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitliğinin, ancak ve ancak iki sayının aynı olması durumunda gerçekleştiğini görüyoruz.

Bu eşitsizliği Cauchy'nin (Koşi) 13 yaşında iken bulduğu söylenir ve eşitsizlik geometrik programlamanın temelini oluşturur.