HİLBERT HAYATI
David hilbert bir alman matematikçidir. 23 ocak 1862 königsberg almanya’da doğmuştur. 14 şubat 1943 göttingen almanya’da da ölmüştür. Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve matematiğin biçimsel temellerinin oluşturulmasına önemli katkıda bulunan alman matematikçi david hilbert integralli denklemlere ilişkin çalışmalarıyla fonksiyonel analizin 20. Yüzyıldaki gelişmesine öncülük etmiştir.
1895 ile 1929 yılları arasında göttingen üniversitesi'nde profesörlük yaptı. Yirminci yüzyılın başlarında, alman matematik okulunun önderi sayılır. 1897 yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar cisminin kuramını kurdu. 1890 yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel geometri ve modern cebirde önemli bir rol oynayan çokterimli idealleri kuramının temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel kanunlarını ortaya koymayı başardı. 1899 yılında, geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bit sentezi olan "geometrinin temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.göttingen üniversitesinde başarılı çalışmalar ortaya koyan hilbert'in matematiksel fiziğe duyduğu büyük ilgi, üniversitenin fizik sahasındaki şöhretine büyük katkıda bulundu.vede hilbert kendi metodları ile matematiği geliştirdi. Değişmezler teoremini (her değişmezin sonlu bir sayı cinsinden ifade edilebileceğini ortaya koyan teoremi) ispatladı
Paris'te 1900 senesinde toplanan milletlerarası matematik kongresinde yaptığı, "matematiğin problemleri" başlıklı konuşmasında, zamanının matematik bilgisinin hemen hemen tamamını ele aldı. Yirminci yüzyıl matematiği açısından önemli gördüğü 23 problemden meydana gelen bir liste ortaya koydu. "hilbert'in 23 problemi" olarak ünlü olan bu problemlerin bir kısmı çözülebilmiş ve bu çözümlerin her biri matematik dünyasında büyük akis uyandırmıştır.
Hilbert, 1905'te ve özellikle 1918'den sonra klasik matematiği biçimsel bir aksiyomatik sistem olarak kurmaya ve bu sistemin tutarlı bir yapıda olduğunu isbatlamaya çaba gösterdi. Ama 1931'de moravya asıllı abd'li matematikçi kurt gödel, sistemdeki aksiyomlara dayanılarak isbatlanması veya çürütülmesi imkansız önermeler ortaya koymanın mümkün olduğunu, bu sebeple matematiksel aksiyomların çelişkili netice ortaya çıkarmayacağını kesinlikle bilmenin mümkün olmadığını isbatladı.
Hilbert'in integralli denklemler üzerindeki çalışmaları fonksiyonel analizin (fonksiyon topluluklarını inceleyen matematik dalı) gelişmesine öncülük etti. Bu çalışmaları günümüzde hilbert uzayı olarak adlandırılan sonsuz boyutlu uzay kavramının ortaya çıkmasıyla neticelendi.
Hilbert uzayı kavramı matematiksel analizde ve kuvantum mekaniğinde temel önemde bir kavramdır. İntegralli denklemler konusunda ortaya koyduğu neticelere dayanarak, gazların kinetik kuramı ve ışınımlar kuramı üzerinde yayımladığı önemli makalelerle matematiksel fiziğin gelişmesine katkıda bulundu.
Ayrıca 1904'ten 1909'a kadar yayımlanan ve 1912-1914 arası fiziğe uygulanan analiz çalışmaları da (değişim hesapları integral denklemleri) aynı ölçüde yenilikler getirdi. 1909'da sayılar kuramındaki "her pozitif sayı her n için belirli sayıda n'inci kuvvetten sayıların toplamı olarak ifade edilebilir" biçimindeki teoremi isbatladı. 1910'da verilen ikinci wolfgang bolyai ödülünü aldı.
1930'da göttingen üniversitesinden emekli olan hilbert, aynı yıl königsberg'in fahri hemşehriliğine seçildi. 1939'da isveç akademisinin ilk mittlag-leffler ödülü hilbert ile fransız matematikçi emile picard'a birlikte verildi. Hayatının son on yılı nazi rejiminin kendisine, öğrencilerine ve meslektaşlarından bir kısmına uyguladığı baskılar sebebiyle büyük üzüntü ve sıkıntı içinde geçti.
somut görüntülere başvurmaktan kaçınan hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye adlandırdığı "üç nesne sistemini" matematiğe soktu. Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, 5 grupta toplanmış 21 aksiyomla açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar. Ait olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandır. Bundan sonra, aksiyomlardan birinin veya öbürünün doğrulanmadığı geometriler kurdu. Temel terimleri kendilerine aksiyomlarla yüklenen özelliklerden başka özelikleri bulunmayan mantıksal varlıklar olarak ele aldı. Klasik matematiği savunmak ve ondaki apaçıklığı göstermek için brouwer ile giriştiği tartışmalar, matematikte geniş biçimli incelemelere yol açtı.
1930'da göttingen üniversitesi'nden emekli olan hilbert, aynı yıl königsberg'in fahri hemşeriliğine seçildi. Hilbert'in bu seçim nedeniyle yaptığı naturerkennen und logik (doğanın anlaşılması ve mantık) başlıklı konuşmasının son tümcesi şöyledir:
Wir müssen wissen, wir werden wissen. (bilmeliyiz, bileceğiz.)
HİLBERT’İN MATEMATİĞİ KATKILARI
Paris'te 1900 senesinde toplanan milletlerarası matematik kongresinde yaptığı, "matematiğin problemleri" başlıklı konuşmasında, zamanının matematik bilgisinin hemen hemen tamamını ele aldı. Yirminci yüzyıl matematiği açısından önemli gördüğü 23 problemden meydana gelen bir liste ortaya koydu. "hilbert'in 23 problemi" olarak ünlü olan bu problemlerin bir kısmı çözülebilmiş ve bu çözümlerin her biri matematik dünyasında büyük akis uyandırmıştır.
Hilbert uzayı kavramı matematiksel analizde ve kuvantum mekaniğinde temel önemde bir kavramdır. İntegralli denklemler konusunda ortaya koyduğu neticelere dayanarak, gazların kinetik kuramı ve ışınımlar kuramı üzerinde yayımladığı önemli makalelerle matematiksel fiziğin gelişmesine katkıda bulundu.
Ayrıca 1904'ten 1909'a kadar yayımlanan ve 1912-1914 arası fiziğe uygulanan analiz çalışmaları da (değişim hesapları integral denklemleri) aynı ölçüde yenilikler getirdi. 1909'da sayılar kuramındaki "her pozitif sayı her n için belirli sayıda n'inci kuvvetten sayıların toplamı olarak ifade edilebilir" biçimindeki teoremi isbatladı. 1910'da verilen ikinci wolfgang bolyai ödülünü aldı.
1899'da yayımlanan grundlagen der geometrie (geometrinin temelleri) adlı eserinde eukleidesçi geometriyi kesin bir aksiyomlar sistemi olarak ortaya koydu ve bu aksiyomların mana ve önemini başarılı bir biçimde sergiledi. Kısa zamanda ünlü olan ve 10 baskı yapan bu kitabı geometrinin aksiyomatik olarak ele alınışında önemli bir dönüm noktası
Teşkil etti.
Değişmezler teoremini (her değişmezin sonlu bir sayı cinsinden ifade edilebileceğini ortaya koyan teoremi) ispatladı
HİLBERT’İN MATEMATİĞİ KATKILARI
Paris'te 1900 senesinde toplanan milletlerarası matematik kongresinde yaptığı, "matematiğin problemleri" başlıklı konuşmasında, zamanının matematik bilgisinin hemen hemen tamamını ele aldı. Yirminci yüzyıl matematiği açısından önemli gördüğü 23 problemden meydana gelen bir liste ortaya koydu. "hilbert'in 23 problemi" olarak ünlü olan bu problemlerin bir kısmı çözülebilmiş ve bu çözümlerin her biri matematik dünyasında büyük akis uyandırmıştır.
Hilbert uzayı kavramı matematiksel analizde ve kuvantum mekaniğinde temel önemde bir kavramdır. İntegralli denklemler konusunda ortaya koyduğu neticelere dayanarak, gazların kinetik kuramı ve ışınımlar kuramı üzerinde yayımladığı önemli makalelerle matematiksel fiziğin gelişmesine katkıda bulundu.
Ayrıca 1904'ten 1909'a kadar yayımlanan ve 1912-1914 arası fiziğe uygulanan analiz çalışmaları da (değişim hesapları integral denklemleri) aynı ölçüde yenilikler getirdi. 1909'da sayılar kuramındaki "her pozitif sayı her n için belirli sayıda n'inci kuvvetten sayıların toplamı olarak ifade edilebilir" biçimindeki teoremi isbatladı. 1910'da verilen ikinci wolfgang bolyai ödülünü aldı.
1899'da yayımlanan grundlagen der geometrie (geometrinin temelleri) adlı eserinde eukleidesçi geometriyi kesin bir aksiyomlar sistemi olarak ortaya koydu ve bu aksiyomların mana ve önemini başarılı bir biçimde sergiledi. Kısa zamanda ünlü olan ve 10 baskı yapan bu kitabı geometrinin aksiyomatik olarak ele alınışında önemli bir dönüm noktası
Teşkil etti.
Değişmezler teoremini (her değişmezin sonlu bir sayı cinsinden ifade edilebileceğini ortaya koyan teoremi) ispatladı
HİLBERT'İN UÇLAR ARİTMETİĞİ
Alman matematikçi david hilbert'in 1871'deki bir makalesinde[1] incelemiş olduğu hiperbolik geometri'nin poincaré modeli için verdiği cebirsel geometrik yapı. Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor. Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor.
Hiperbolik geometride her paralel ışın, hiperbolik düzlemin dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz. İzdüşümsel geometri). Ayrıca her yakınsak paralel ışın sınır çember denilen ideal noktalarda kesişir. Bu yüzden hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya "uç" terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar. Noktayı da bir doğru demeti denklemiyle elde eder[2].
Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir hiperbolik analitik goemetri veya bir hiperbolik trigonometri inşa edilebilir. Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur.
UÇLARDA TOPLAMA
Öncelikle, toplama tanımında toplamın varlığını veren üç yansıma teoremini vermek gerekir.
Sav (üç yansıma teoremi).
Ortak uçları ω olan üç tane m, n, p doğrusu verilsin. Ucu ω olan öyle bir dördüncü r doğrusu vardır ki bu doğrudaki yansıma, diğer üç doğrunun yansımalarının çarpımına eşittir.
Σr = σmσnσp
Ki burada σd, d doğrusundaki yansımayı ifade eder.
şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verilebilir. Eğer yukarıdaki savda p = α, n=0 ve m = β alınırsa r = α + β olarak tanımlanabilir:
Σα + β = σβσ0σα
Ki burada herhangi bir α için, σα o ucun doğrusundaki yansımasını ifade eder.
Hilbert'in uçlar artimetiğinde toplama tanımı
Tanım.
ucundan farklı herhangi iki α, β uçları ve doğrusundaki bir c noktası verilsin. A noktası, c 'nin doğrusuna olan yansıması ve b noktası da c 'nin doğrusuna olan yansıması olsun. O halde α + β toplamı, ucundan farklı ab doğrusuna dik gelen kenarortay olarak tanımlanır.
Toplama, iyi tanımlıdır ve (h,+) kümesini birim öğesi 0 olan abelci bir öbek yapar. Eğer kümesi tanımlanırsa, her uç düzlemdeki yakınsak paralel ışınların bir denklik sınıfı olduğundan, bu küme düzlemdeki tüm uçların kümesi olacaktır. Bu kümedeki her iki uç bir doğruyu temsil ettiğinden, toplama için birim öğe niyetine bir doğruyu sabitleyip onu uçlarına eşleyebiliriz.
UÇLARDA ÇARPMA
Çarpmayı tanımlamak için öncelikle doğrusuna o noktasında dik, birim öğe niyetine bir doğru çekilebilir. Bu doğrunun bir ucuna 1 ve diğer ucuna da -1 denir. Bu şekilde doğrusunu a ve b noktalarında dik kesen doğruların uçları çarpımı; öklitçi doğru parçaları cinsinden
Oa+ob=oc
Eşitliğini sağlayan c noktasındaki dikmenin ucu olarak tanımlanır. Bu tanım aslında, paralel doğruların orijinle olan öklitçi uzaklıklarının toplamı kadar uzaklıktaki paraleli üretmek sezgisidir. Daha matematiksel olarak,
Tanım.
doğrusunu dik açıda a ve b noktalarında kesen (α, − α) ile (β, − β) doğruları için yine o doğruyu c noktasında kes en (αβ, − αβ) doğrusu; a' noktası anın bakışığı olmak üzere,
Ba'=oc
Eşliğini sağlayan doğrudur.
Bu tanımın, kümesini birim öğesi 1 olan değişmeli bir öbek yaptığı kanıtlanabilir. Artık bu iki işlemle birlikte kümesi, birimleri 1 ve 0 olan değişmeli bir cisim olur.
